复数的二维几何解释

复数的二维几何解释

正文

引入

根据3B1B的视频，我们可以将实数的加法与乘法理解为线性算子，即：

$$\begin{align} a\cdot b \equiv f(b)\text{，其中}f(b) = a\cdot b\\ a + b \equiv f(b)\text{，其中}f(b) = a + b\\ \end{align}$$

根据线性代数的定义， $a\cdot b$ 所对应的映射是一个线性映射，因为它满足对加法和代数乘法封闭，即：

$$\begin{align} &\text{对于}F:\ V\to V\\ &f(u+v)=f(u)+f(v),f(\lambda u)=\lambda f(u),\lambda\in\mathbb R\text{或}\mathbb C \end{align}$$

，因此它可以被视作线性算子。线性算子可以被视作在线性空间内执行的变换。

虚数乘法的空间含义

同理，我们将该视角应用到虚数，可以发现：

$$\begin{align} \text{将}i\text{视作线性算子}f\text{，其中}f(a + bi)&\equiv i\cdot(a + bi)\text{且} i\cdot i=-1\text{，} \end{align}$$

则：

$$\begin{align} f((a_1 + b_1i)+(a_2 + b_2i))&\equiv i((a_1 + b_1i)+(a_2 + b_2i))\\ &=ia_1 -b_1 + ia_2 - b_2\\ &=i(a_1 + b_1i) + i(a_2 + b_2i)\\ &=f(a_1 + b_1i) + f(a_2 + b_2i) \end{align}$$

且

$$\begin{align} f(n\cdot(a + bi))&\equiv i(n\cdot(a + bi))\\ &=n(i\cdot(a + bi))\\ &=nf(a + bi) \end{align}$$

，因此 $i$ 与任意虚数相乘满足对加法和乘法封闭。
这个性质有什么用呢？根据虚数乘法的定义可以求得 $i\cdot (a + bi) = -b + ai$ ，而把它转化为线性变换则有

$$i\cdot(a + bi)\equiv \begin{bmatrix} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$$

。可以求得：

$$i\equiv\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

。这是不是有点眼熟？是的，根据在二维空间中以原点为中心进行逆时针旋转的定义，

$$R_\theta\equiv \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

，因此 $i=R_{90^\circ}$ ，即，将 $i$ 与任意虚数相乘的几何含义为将该虚数的空间逆时针旋转 $90^\circ$ 。

参考

• 3B1B的视频：
  https://www.bilibili.com/video/av3362960/