Calculus笔记-7-2-三角函数的积分

Calculus笔记-7-2-三角函数的积分

三角函数的导数公式

$$\begin{align} &\sin x' = \cos x &\cos x' = -\sin x \\ &\tan x' = \sec^2x &\sec x' = \sec x\tan x \\ &\cot x' = -\csc^2x &\csc x' = -\csc x\cot x \end{align}$$

三角函数的积分公式

$$\begin{align} &\int\sin x = -\cos x + C &\int\cos x = \sin x + C \\ &\int\tan x = \ln|\sec x| + C &\int\sec x = \ln|\tan x + \sec x| + C \end{align}$$

求形如 $\int\sin^m x\cos^n xdx$ 的积分

1. 在 $m$ 和 $n$ 其一为奇数的情形下，为幂次为奇数的 $\sin$ 或 $\cos$ 函数保留 $1$ 次项，并将剩余部分使用公式 $\cos^2x + \sin^2x = 1$ 转化为对应的 $\cos$ 或 $\sin$ 函数；

2. 在 $m$ 和 $n$ 都为偶数的情形下，使用半角公式

   $$\sin^2x = \frac12(1 - \cos2x) \qquad\text{或}\qquad \cos^2x = \frac12(1 - \sin2x)$$

   将函数转化为 $1$ 中的情形；

3. 在 $m$ 和 $n$ 都为奇数的情形下，使用公式

   $$\sin x\cos x = \frac12\sin2x$$

   将函数转化为 $2$ 中的情形。

求形如 $\int\tan^mx\sec^nxdx$ 的积分

1. 若 $n$ 为偶数且大于 $2$ ，则保留一个 $\sec^2x$ ，并将其余 $\sec x$ 使用公式 $\sec^2x = \tan^2x + 1$ 转化为 $\tan x$ ；
2. 若 $m$ 为奇数，则保留一个 $\sec x\tan x$ ，并将其余 $\tan x$ 使用公式 $\tan^2x = \sec^2x - 1$ 转化为 $\sec x$ 。

在其余情形中，我们可能需要使用

$$\int\tan xdx = \ln|\sec x| + C$$

或

$$\int\sec xdx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

来求解。

求形如 $\int\sin^mx\cos^nxdx$ 的积分

使用公式

$$\sin A\cos B = \frac12\left[\sin(A - B) + \sin(A + B)\right]\tag{1}$$ $$\sin A\sin B = \frac12\left[\cos(A - B) - \cos(A + B)\right]\tag{2}$$ $$\cos A\cos B = \frac12\left[\cos(A - B) + \cos(A + B)\right]\tag{3}.$$