数学天花板：你的学习是在哪一个点上崩溃的？
在一个下午，我们部门的领导在员工室抓住了我，问了我一个长期以来一直存在的问题：“每一个人都有一个数学天花板——一个他们再也无法进步的等级吗？”（他后面承认，他只是好奇是否可以在这个博客中表演玩偶戏。答案居然是可以：我像下图中的玩偶一样跳起了舞。）
领导：我的意思是，我在好奇……
我：好奇！真是惊讶！我喜欢思考问题！
所以，我们有这样一个天花板吗？
传统的看法是，“肯定是这样。”有高智商的人，也有低智商的人。有擅长数学的人，也有不擅长数学的人。有的孩子能很快领悟，有的孩子却不能。
试着去询问成年人他们所受的数学教育：他们将其看作某种大学体育锦标赛，每一个人都会被淘汰，所以唯一的问题是你能在比赛中待多久。“我不会算数”代表第一轮被淘汰，而“我在多元微积分上止步”意味着”嘿，我没赢，但是我很自豪能打进四强赛。“
但在教师中有不一样的共识——一个被广泛同意的经验，认为答案是”肯定没有。“
教师一：既然我们相信关于神经可塑性的最新研究，那么就不存在什么知识的天花板，只有努力和教学的天花板。
教师二：当然没有。只是有的人会花费稍微（或者非常）多的时间。对学习的热爱才是必不可少的。
教师三：我觉得唯一的天花板只有学习者敢于尝试新事物的天花板。
教师四：没有，因为我讨厌认为即使花费时间和意志力仍有不能掌握的知识的观点。
教师五：理论上没有，而人们需要的是正确的老师、大量的时间、足够的勇气和决心。
你可能会喜欢他们回答中代表一般人的视角和积极的态度。（看向你的椅子下面——任何人都有一种理论教科书！）但我认为你也需要了解我的朋友Karen的质疑。
问：Karen，我们有一个这样的天花板吗？
Karen：是的，是的，是的。而且对于我们中的一些人，这样的天花板是尤其低的。
Karen：老师们都会说没有。我——一个迂腐的，有许多天才/渴望/动力/努力/办法的学生，强烈反对这样的观点。
Karen很努力。Karen问了很多问题。Karen相信他自己。但Karen仍觉得某种数学悬在她的能力之上，在她的数学天花板之上。
学生（“每一个人都有能力的上限”）和老师（“任何人都可以做任何事！”）之间的鸿沟看样子不可弥合。一个老师可能会将“你可以做到！”作为鼓励说出，但一个失望的学生可能会将这种话语当作对于他们努力的宣判（或者是错误的否定）。真的有一个办法来让矛盾双方同时成立吗？
我相信有这样一个定律：破蒲团定律。
在大学里，我和室友从一些朋友那里买了一个二手蒲团（只用过几个月）。他们住在一楼，而我们住在四楼。他们很善良地帮我们把它从楼梯搬上楼。
他们在登上三楼时听到了一声破裂声。一块小金属板从蒲团上脱落了。我们都检查了一遍，但都没法知道这个零件是从哪儿掉下的。既然蒲团看起来还正常，我们就不管它了。
在蒲团放在了我们寝室一周后，它开始从中间弯曲。“它一直都是这样吗？”我们彼此问道。
一个月后，它尴尬地剧烈弯曲了。在两端坐下，蒲团的弧度会把你拖入中间的凹陷里。
在这个学期的末尾，它在灰尘遍布的宿舍地板上原地坍塌了，只剩下一具一次性蒲团破损了的骨架。
如今，宜家家具因为其臭名昭著的短寿命被看作客厅中的果蝇。我们的蒲团的生命周期毫无疑问存在一个天花板，可能是三四年。但这个蒲团几乎只坚持了八个月。
马后炮地来说，显然那个掉落的零件是很重要的。这个蒲团在失去它后起初看起来还正常。但随着时间增长，人们坐在它上面，重量将它不能独立负载的部分结构一次次地向下压。这样的框架变得弯曲。压力降低了它的承受力。蒲团内部时钟的指针一步步指向它的失去支撑变得无法承受的时间点，然后整个蒲团便坍塌了。
悲伤的是，同样的过程也发生在数学课上。
假设你处于八年级，你可以流畅准确地画出线性方程的图像，可以算出它们的斜率、认出一些点，然后画出平行和垂直的线。
但如果你忽略了其中的某些点，比如这些图像只是满足方程的x-y点集，那么你就是一个破蒲团。你丢掉了某些点，而你未来的学习会十分依赖它们。圆锥曲线会让你揪心，三角函数就不会有意义，而你可能会逃避微积分，自我安慰道：“话说回来，至少我的天花板比一些人高。”
你可能会问，“既然我现在很好，难道我不能在之后需要的时候再将这一块补全吗？”有时候可以，但它会变得更难。你现在已经在没有这个关键部分的时候花费了数年的时间，你已经创造了捷径和碎片化的方法来通过它。这些方法一时间可能会奏效，但它们已经使整个框架变形，而你现在要短时间跟上它。为了继续前进，你需要先遗忘掉这些暂时的方法来有效地将这块蒲团扳回原样——在你能够进步之前。但想要放弃你如今获得的这些方法几乎是不可能的。
将遗失的部分在事后补全意味着等待伤害的发生，而且十分难以挽回。
这就是我所认为的，许多学生会遇到的数学天花板。这不是什么在神经科学上天生的限制，而是我们自己所造就的东西。我们，在字面上和事实上，用像是“你没理解是很正常的。只要跟着这些步骤，然后再在后来检查你的答案就好了。”的话语造就了它；我们，用“只有聪明的人才能理解它，对于其他人，我只要确保他们能够照着做就行了。”的话语造就了它；我们，用“他们现在还不能理解，但最后都能自己搞懂的。”的话语造就了它。
这样的做法，使得我们最终将蒲团搬上了楼梯。但有什么东西在过程中丢失了。将我们的学生往前推，却让他们缺少了关键的理解，就像是将士兵们送往战场却没有给他们替换的弹药一样。当然，他们还可以开火几次，但随着时间增长，他们总会意识到有什么东西丢失了，却再也无法挽回了。
一个只能回答问题却不能理解的学生就像是拥有保质期的学生一样。
原文地址：The Math Ceiling: Where’s your cognitive breaking point? – Math with Bad Drawings