Calculus笔记-16.5-旋度与散度

Calculus笔记-16.5-旋度与散度

旋度(Curl)

定义

如果 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$ 是定义在 $\mathbb R^3$ 上的向量场，而且 $P,\ Q,\ R$ 的偏导数都存在，则 $\mathbf F$ 的旋度是由

$$\text{curl }\mathbf F = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf i + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf j + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}\right)\mathbf k \tag{5.1}\label{旋度1}$$

所定义的 $\mathbb{R}^3$ 向量场。

• 运用算符表示法，我们引入梯度算子 $\nabla$ ：

  $$\nabla = \mathbf i\frac\partial{\partial x} + \mathbf j\frac\partial{\partial y} + \mathbf k\frac\partial{\partial z}$$

  $\nabla$ 是一个向量微分算子，它在与数量场 $f$ 作用时可得到该场的梯度：

  $$\nabla f= \mathbf i\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf j\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf k\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf i + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf j + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf k$$

• 将 $\nabla$ 看作一个向量，则我们可以得到旋度的一个比较简单的表示：

  $$\begin{align} \nabla\times\mathbf F &= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac\partial{\partial x} & \frac\partial{\partial y} & \frac\partial{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\&= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf i + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf j + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}\right)\mathbf k \\&= \text{curl }\mathbf F \end{align}$$

因此我们有旋度的第二定义：

第二定义

$$\text{curl }\mathbf F = \nabla\times\mathbf F \tag{3.2}\label{旋度2}$$

旋度与梯度

$$\text{若 $f$ 是有连续二阶偏导数的三元函数，则}\\ \text{curl}(\nabla f) = 0 \tag{3.3}\label{梯度场旋度为0}$$

定理 $\eqref{梯度场旋度为0}$ 可由克莱尔定理证明。它表示保守向量场的旋度为 $0$ 。

定理 $\eqref{梯度场旋度为0}$ 的逆定理只在 $\mathbf F$ 的定义域等于上域时成立（更广泛地，是在其定义域为简单连通区域时成立），它是 $16.3$ 节中保守向量场判定定理在三维空间中的对应定理：

保守向量场的第二判定定理

$$\text{设 $\mathbf F$ 是在整个 $\mathbb{R}^3$ 上有定义的向量场，且其分量函数都有连续偏导数。}\\\text{若 curl $\mathbf F = \mathbf 0$ ，则 $\mathbf F$ 是一个保守向量场。} \tag{3.4}\label{保守向量场的第二判定定理}$$

定理 $\eqref{保守向量场的第二判定定理}$ 的证明需要用到斯托克斯公式。

物理含义

“旋度”一词暗示了其在旋转方面的意义。具体来说，当 $\mathbf F$ 表示流体的速度场时， $\text{curl }\mathbf F$ 的大小表示了在 $(x, y, z)$ 附近的液体中粒子绕轴旋转的速度，其方向则为所绕轴的方向（如上图）。若在 $P$ 点 $\text{curl }\mathbf F = \mathbf 0$ ，则粒子不会绕 $P$ 点旋转， $\mathbf F$ 被称为在 $P$ 点无旋(irrotational)。换句话说，在 $P$ 点不存在旋涡。若 $\text{curl }\mathbf F = \mathbf 0$ ，则桨轮会随液体运动但不会旋转；若 $\text{curl }\mathbf F \ne \mathbf 0$ ，则在该点的桨轮会绕轴旋转。更详细的讨论会在斯托克斯公式一节之中进行。

散度(Divergence)

定义

若 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$ 且 $\partial P / \partial x$ ， $\partial Q / \partial y$ 和 $\partial R / \partial z$ 都存在，则 $\mathbf F$ 的散度(divergence of F)是由

$$\text{div }\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \tag{3.5}\label{散度1}$$

所定义的三元函数。

注意到， $\text{curl }\mathbf F$ 是向量场，但 $\text{div }\mathbf F$ 是数量场。利用梯度算子 $\nabla =
\mathbf i\frac\partial{\partial x} +
\mathbf j\frac\partial{\partial y} +
\mathbf k\frac\partial{\partial z}$ ， $\mathbf F$ 的散度可以用 $\nabla$ 和 $\mathbf F$ 的点乘来表示：

$$\text{div }\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F \tag{3.6}\label{散度2}$$

散度与旋度的关系

$$\text{如果 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$ 是在 $\mathbb R^3$ 上的向量场，}\\\text{且 $P,\ Q$ 和 $R$ 都有连续二阶偏导数，则}\\ \text{div curl }\mathbf F = 0 \tag{3.7}\label{旋度的散度为0}$$

散度的物理含义

取名为散( $s\grave an$ )度的原因可以在液体流的讨论中被理解。

如果 $\mathbf F(x, y, z)$ 是液体的速度场，则 $\text{div }\mathbf F(x, y, z)$ 表示单位体积的液体从点 $(x, y, z)$ 流出时质量随时间的净变化率。换句话说， $\text{div }\mathbf F(x, y, z)$ 指示了流体从点 $(x, y, z)$ 向外溢出（发散）的倾向。若 $\text{div }\mathbf F = 0$ ，则 $\mathbf F$ 被称为不可压缩(incompressible)。用粒子来理解的话，则我们可以用散度来表示无限收缩的封闭曲面内粒子辐射的倾向1。

拉普拉斯算符

当我们计算梯度场 $\nabla f$ 的散度时，我们可以得到另一个微分算子。若 $f$ 是一个三元函数，则我们有：

$$\text{div}(\nabla f) = \nabla\cdot(\nabla f) = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2}$$

这种表示法经常会出现，因此我们将其简化为 $\nabla^2f$ 。算子

$$\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla$$

因为其与拉普拉斯方程(Laplace’s equation)

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} = 0$$

的关系，被称为拉普拉斯算子(Laplace operator)。

我们也可以将拉普拉斯算子 $\nabla^2$ 应用到向量场

$$\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$$

（对其分量应用）上：

$$\nabla^2\mathbf F = \nabla^2P\mathbf i + \nabla^2Q\mathbf j + \nabla^2R\mathbf k.$$

格林公式的向量形式

对切向分量的直线积分的格林公式

设二元向量场 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j$ ，其直线积分为

$$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \oint_CPdx + Qdy$$

，且将 $\mathbf F$ 看作 $z$ 方向分量为 $0$ 的 $\mathbf R^3$ 向量场，则有

$$\begin{align} \text{curl } F &= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & 0 \end{vmatrix}\\&= \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf k \end{align}$$

则

$$\text{curl } F\cdot\mathbf k = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf k\cdot \mathbf k = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

因此我们可以将格林公式写成其向量形式：

$$\text{格林公式的向量形式1}\\ \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint\limits_D(\text{curl }\mathbf F)\cdot\mathbf kdA \tag{3.8}\label{格林公式的向量形式1}$$

式 $\eqref{格林公式的向量形式1}$ 将 $\mathbf F$ 沿 $C$ 的切向分量的直线积分表示为 $\text{curl }\mathbf F$ 对由 $C$ 围成的区域 $D$ 的垂直分量的二重积分。

对法向分量的直线积分的格林公式

我们可以得出对 $\mathbf F$ 的法向(normal)分量的一个相似定理：

若为 $C$ 由向量方程

$$\mathbf r(t) = x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j \qquad a\le t\le b$$

所确定的曲线，则其单位切向量为

$$\begin{align} \mathbf T(t) &= \frac{\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|} \\&= \frac{x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i + \frac{y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j \end{align}$$

则我们可以得出其单位法向量：

$$\mathbf n(t) = \frac{y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i - \frac{x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j$$

设 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j$ ，则由式 $(2.4)$ ，有：

$$\begin{align} \oint_C\mathbf F\cdot\mathbf nds &= \int_a^b(\mathbf F\cdot\mathbf n)(t)|\mathbf r'(t)|dt \\&= \int_a^b \left[ \frac{P(x(t),\ y(t))y'(t)}{|r'(t)|} - \frac{Q(x(t),\ y(t))x'(t)}{|r'(t)|} \right] |\mathbf r'(t)|dt \\&= \int_a^bP(x(t),\ y(t))y'(t)dt - Q(x(t),\ y(t))x'(t)dt \\&= \int_CPdy - Qdx \end{align}$$

由格林公式可知，

$$\int_CPdy - Qdx = \iint\limits_C \left( \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial y} \right)dA$$

等式右侧即为 $\mathbf F$ 的散度，则我们可以得出格林公式的第二个向量形式：

$$\text{格林公式的向量形式2}\\ \oint_C\mathbf F\cdot \mathbf nds = \iint\limits_D\text{div }\mathbf F(x, y)\ dA \tag{3.9}\label{格林公式的向量形式2}$$

式 $\eqref{格林公式的向量形式2}$ 表示， $\mathbf F$ 沿 $C$ 的法向分量的直线积分等于 $\mathbf F$ 的散度对由 $C$ 围成的区域 $D$ 的二重积分。

参考链接

散度和旋度的物理意义是什么？ - 知乎

散度和KL散度的介绍 - CSDN 博客