Calculus笔记-16.1-向量场

Calculus笔记-16.1-向量场

向量场(vector field)

• 向量场是定义域为 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 内的点集，值域为 $V_2$ 或 $V_3$ 中的向量的函数。

二维定义：

令 $D$ 为 $\mathbb{R}^2$ 内的集，在 $\mathbb{R}^2$ 中的向量场是将 $D$ 内每个点 $(x, y)$ 映射到二维向量 $\mathbf{F}(x, y)$ 的函数 $\mathbf F$​ 。

• 由于 $\mathbf F(x, y)$ 是一个向量，因此我们可以将其写成分量函数(component functions) $P$ 和 $Q$ ： $$\mathbf F(x, y) = P(x, y)\mathbf i + Q(x, y)\mathbf j = \left <P(x, y), Q(x, y)\right >$$ 或其简短形式： $$\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j$$ $P$ 和 $Q$ 有时也被称作标量场(scalar fields)。

三维定义：

令 $D$ 为 $\mathbb{R}^3$ 内的集，在 $\mathbb{R}^3$ 中的向量场是将 $D$ 内每个点 $(x, y, z)$ 映射到三维向量 $\mathbf{F}(x, y, z)$ 的函数 $\mathbf F$ 。

梯度场(Gradient Fields)

• 如果 $f$ 是一个二元标量函数，其梯度 $\nabla f$ 被定义为：

  $$\nabla f(x, y) = f_x(x, y)\mathbf i + f_y(x, y)\mathbf j$$

  则 $\nabla f$ 是一个二维向量场，被称作梯度向量场(gradient vector field)。

  同样地，三维标量函数的梯度向量场由

  $$\nabla f(x, y, z) = f_x(x, y, z)\mathbf i + f_y(x, y, z)\mathbf j + f_z(x, y, z)\mathbf k$$

  所确定。

• 如果一个向量场 $\mathbf F$是某个标量函数的梯度，即，若存在函数 $f$ 使得 $\mathbf F = \nabla f$ ，则它被称为保守向量场(conservative vector field)。在这种情况下， $f$ 被称为 $\mathbf F$ 的位函数(potential function)。