Calculus笔记-15.7-圆柱坐标的三重积分

Calculus笔记-15.7-圆柱坐标的三重积分

圆柱坐标(Cylindrical Coordinates)

• 在圆柱坐标系中，三维空间中的点 $P$ 由有序三元组 $(r, \theta, z)$ 来表示，其中 $r$ 和 $\theta$ 是 $P$ 在 $xy$ 平面上投影的极坐标，而 $z$ 是 $P$ 与 $xy$ 平面的距离。

• 圆柱坐标对直角坐标的转换公式为：

  $$x = r\cos\theta\qquad y = r\sin\theta\qquad z = z \tag{7.1}$$

• 直角坐标对圆柱坐标的转换公式为：

  $$r^2 = x^2 + y^2\qquad \tan\theta = \frac yx\qquad z = z \tag{7.2}$$

• 圆柱坐标系在关于轴对称的问题上比较方便，其中 $z$ 轴被选为对称轴。

圆柱坐标的三重积分

• 设 $E$ 是第一类积分区域，且它在 $xy$ 平面上的投影 $D$ 可以方便地用极坐标来表示。特别地，设 $f$ 在 $E$ 上连续且 $$E = \{(x, y, z)\ |\ (x, y)\in D, u_1(x, y)\le z\le u_2(x, y)\}$$ 其中 $D$ 由极坐标 $$D = \{(r, \theta)\ |\ \alpha\le\theta\le\beta,\ h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)\}$$ 给出，则 $$\iiint\limits_Ef(x, y, z)dV = \iint\limits_D \left[ \int_{u_1(x, y)}^{u_2(x, y)} f(x, y, z)dz \right]dA \tag{7.3}\label{积分1}$$ 由极坐标的二重积分可得 $$\iiint\limits_Ef(x, y, z)dV = \int_\alpha^\beta \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} \int_{u_1(r\cos\theta, r\sin\theta)} ^{u_2(r\cos\theta, r\sin\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)rdzdrd\theta \tag{7.4}\label{积分2}$$ 式 $\eqref{积分2}$ 就是圆柱坐标的三重积分公式(formula for triple integration in cylindrical coordinates)。