Calculus笔记-9.5-线性微分方程

9.5 线性微分方程(Linear Equations)

定义

一阶线性方程是指能够写成

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

形式的方程, 其中 $P$ 和 $Q$ 为在指定区间内的连续函数.

这种方程不是可分离变量的微分方程, 但我们可以通过如下方法将其化为可分离变量的微分方程:

首先, 我们考察方程 $(51)$ 的左半部分, 若通过乘以一个关于 $x$ 的函数 $I(x)$ , 该式能够化为

$$I(x)\left(y' + P(x)y\right) = \left(I(x)y\right)'$$

的形式, 则方程 $(51)$ 可化为

$$\left(I(x)y\right)' = I(x)Q(x)$$

则

$$\begin{align} I(x)y &= \int I(x)Q(x)dx\notag\\ y &= \frac1{I(x)}\int I(x)Q(x)dx \end{align}$$

即为方程 $(51)$ 的解.

为找出 $I(x)$ , 我们通过乘法的求导原则, 从式 $(52)$ 中找到

$$I'(x) = I(x)P(x)$$

注意到式 $(55)$ 为可分离变量的一阶微分方程, 则

$$\begin{align} \int \frac{dI}{I} &= \int P(x)dx\notag\\ \ln\mid I\mid &= \int P(x)dx + C \end{align}$$

令 $C = 0$ , 则式 $(56)$ 可化为

$$I = e^{\int P(x)dx}$$

(附)什么是一阶线性微分方程?

若一个微分方程可化为

$$a_1y^{(n - 1)} + a_2y^{(n - 2)} + \cdots + a_{n - 1}y' + a_ny = f(x)$$

的形式, 其中

$$a_1, a_2, \dots, a_n$$

为与 $y$ 无关的系数或关于 $x$ 的函数, 则我们将其称为一阶线性微分方程.