Calculus笔记-9.4-人口模型

9.4 人口模型(Models for Population Growth)

自然增长模型

定义

设 $P(t)$ 为 $y$ 在时间 $t$ 时的数目, 且 $P$ 关于 $t$ 的变化率与其在任意时间的大小 $P(t)$ 成比例, 则

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

其中 $k$ 为常量.

我们将式 $(38)$ 称为自然增长定律. 若 $k$ 为正数, 则人口将增长; 若 $k$ 为负数, 则人口将减少.

解

式 $(38)$ 为可分离变量的微分方程, 因此我们可以用9.3节中的方法来求解:

$$\begin{align} \int \frac{dP}{P}& =\int k dt\notag\\ \ln{\mid P\mid} &= kt + C\notag\\ \mid P\mid &= e^{kt + C} = e^Ce^{kt}\notag\\ P &= Ae^{kt}\qquad\text{其中}\qquad A = e^C \end{align}$$

初值问题

将 $t = 0$ 代入, 得

$$P(0) = Ae^{k\cdot0} = A$$

则初值问题

$$\frac{dP}{dt} = kP\qquad P(0) = P_0$$

的解集为:

$$P(t) = P_oe^{kt} \qquad\text{或}\qquad \frac1{P}\frac{dP}{dt} = k$$

考虑移民

设移民速率为常量 $C$ , 则式 $(39)$ 还可写成

$$\frac{dP}{dt} = kP(t) - m$$

Logistic模型

定义

考虑人口环境承载容量 $M$ , 我们认为, 在人口 $P$ 较小时, 人口的增长情况接近于自然增长模型, 即

$$\frac{dP}{dt}\approx kP\qquad\text{当}P\text{较小}时$$

这说明人口的增长率在一开始与其数量大约成正比.

当人口接近甚至超过人口环境承载容量时, 人口 $P$ 的增长速度会减慢甚至变为负增长.

用以描述上述人口增长规律的一个最简单模型如下:

$$\frac1{P}\frac{dP}{dt} = k\left(1 - \frac{P}{M}\right)$$

将等式两端同时乘以 $P$ , 我们便得到了Logistic微分方程:

$$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{M}\right)$$

解

式 $(45)$ 是可分离变量的微分方程, 故可以使用9.3节中的方式求解:

$$\int\frac{dP}{P(1 - P/M)} = \int\frac{M}{P(M - P)}\\$$

最终化简得到:

$$P(t) = \frac{M}{1 + Ae^{-kt}}\qquad\text{其中}\qquad A = \frac{M - P_o}{P_0}$$

我们可以得到:

$$\lim_{t\to\infty}P(t) = M$$

这与我们的预期相符.

其他人口增长模型

考虑定期收割的模型

$$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{M}\right) - c$$

考虑最小人口规模的模型

考虑到在人口低于一定数目时, 物种间会变得稀疏, 从而使人口增长率进一步下降, 我们有如下模型:

$$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{M}\right)\left(1 - \frac{m}{P}\right)$$

其中 $m$ 代表最小人口规模.