Calculus笔记-9.3-可分离变量的微分方程

9.3 可分离变量的微分方程(Separable Equations)

定义

可分离变量的微分方程是指能够化成

$$\frac{dy}{dx} = g(x)f(y)$$

形式的一阶微分方程, 其等价形式为

$$\frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{f(y)},\qquad\text{其中}h(y) = \frac1{f(y)}.$$

解

为了解上述方程, 我们将其化为

$$h(y)dy = g(x)dx,$$

并对两边同时求积分, 得:

$$\int h(y)dy = \int g(x)dx.$$

即为一阶微分方程 $(33)$ 的解.

证明

我们对式 $(36)$ 使用链式法则, 得:

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\left(\int h(y)dy\right) &= \frac{d}{dx}\left(\int g(x)dx\right)\notag\\ \frac{d}{dy}\left(\int h(y)dy\right) \frac{dy}{dx} &= g(x)\notag\\ h(y)\frac{dy}{dx} &= g(x) \end{align}$$

式 $(37)$ 符合式 $(35)$ , 式 $(36)$ 得证.