Calculus笔记-9.1-用微分方程来建模

9.1 用微分方程来建模(Modeling with Differential Equations)

人口模型

一个粗略的人口模型

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

解:

$$\text{令} P(t) = Ce^{kt}\text{, 则}$$ $$P'(t) = C(ke^{kt}) = k(Ce^{kt}) = kP(t)$$

可证该解为唯一解.

一个更精确的人口模型

$$\frac{dP}{dt} = kP(1 - \frac{P}{M})$$

两个数值解:

$$P(t) = 0\text{, }p(t) = M$$

这两个解被称为平衡解.

弹簧运动模型

胡克定律:

$$\text{restoring force} = -kx$$

牛顿第二定律

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

这是一个二阶微分方程, 因为它包含了一个二阶导数.

解:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

这说明 $x$ 的二阶导数与 $-x$ 成比例, 而 $\cos{x}$ 和 $\sin{x}$ 具有这类性质.

一般的微分方程

定义:

​ 微分方程是包含未知函数和一个或更多其导数的方程, 其阶为最高阶导数的阶数;

​ 一个函数 $f$ 被称为解, 当且仅当其代入方程时能够满足等式.

​ 解一个微分方程时, 我们要求找出所有方程的可能解.

不同的微分方程没有一种通用解法, 因此它是较为困难的.

在很多物理问题中, 我们只需要找出一个解, 满足 $y(t_o) = y_0$ , 这被称为初始条件, 而这类寻找初始条件的问题被称为初值问题.

在几何上, 当我们代入一个初始条件时, 我们考察整个解集曲线, 并选出一个穿过点 $(t_0,\ y_o)$ 的曲线. 在物理上, 这相当于在 $t_0$ 时考察整个系统的状态, 并用初值问题的解来预测系统未来的行为.