Calculus笔记-7.1-分部积分法

7.1 分部积分法(Integration by Parts)

不定积分的分部积分法

由乘法的求导规则, 我们知道

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$

则式 $(23)$ 可化为

$$\int[f(x)g'(x) + g(x)f'(x)]dx = f(x)g(x)$$

或

$$\int f(x)g'(x) + \int g(x)f'(x)dx = f(x)g(x)$$

将式 $(25)$ 重新安排, 则有

$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

我们将式 $(26)$ 称为分部积分法.

若以 $u = f(x)$ , $v = g(x)$ 代换, 我们得到

$$\int udv = uv - \int vdu$$

定积分的分部积分法

如果我们将不定积分的分部积分法与微积分基本定理结合, 则我们拥有如下公式:

$$\int^b_a f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]^b_a - \int^b_a f'(x)g(x)dx$$

式 $(28)$ 被称为定积分的分部积分法.

消去公式(reduction formula)

定义

下述公式被称为消去公式, 因为其能够将 $\sin x$ 的指数 $n$ 化为 $n - 1$ 和 $n - 2$ :

$$\int \sin^ndx = -\frac1{n}\cos x\sin^{n - 1}x + \frac{n - 1}{n}\int\sin^{n - 2}xdx$$

证明

我们令

$$u = \sin^{n - 1}x\qquad dv = \sin xdx\\ \text{则}\\ du = (n - 1)\sin^{n - 2}\cos xdx\qquad v = -cosx$$

运用不定积分的分部积分法, 我们可以得到

$$\int \sin^ndx = -\cos x\sin^{n - 1}x + (n - 1)\int\sin^{n - 2}x\cos^2xdx$$

因为 $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ , 我们有

$$\int\sin^ndx = -\cos x\sin^{n - 1}x + (n - 1)\int\sin^{n - 2}xdx - (n - 1)\int\sin^ndx$$

则有

$$\int \sin^ndx = -\frac1{n}\cos x\sin^{n - 1}x + \frac{n - 1}{n}\int\sin^{n - 2}xdx$$

式 $(29)$ 得证.