Calculus笔记-5.5-函数的平均值

5.5 函数的平均值(Average Value of a Function)

函数的平均值

通过将函数 $f(x)$ 分为 $n$ 个区间, 我们可求出函数的平均值

$$f_{\text{ave}} = \frac{f(x^*_1) + f(x^*_2) +\cdots+ f(x^*_n)}{n}$$

其中 $\Delta x = (b - a) / n$ .

用 $n = (b - a) / \Delta x$ 代换, 我们有

$$\begin{align*} \frac{f(x^*_1) + f(x^*_2) +\cdots+ f(x^*_n)}{\frac{b - a}{\Delta x}} &= \frac1{b - a}[f(x^*_1) + f(x^*_2) +\cdots+ f(x^*_n)]\Delta x\\ &= \frac1{b - a}[f(x^*_1)\Delta x + f(x^*_2)\Delta x +\cdots+ f(x^*_n)\Delta x]\\ &= \frac1{b - a}\sum^n_{i = 1}f(x^*_i)\Delta x \end{align*}$$

我们取函数的平均值为 $n\to\infty$ 时区间平均值的极限, 即

$$\lim_{n\to\infty}\frac1{b - a}\sum^n_{i = 1}f(x^*_i)\Delta x = \frac1{b - a}\int^b_a f(x)dx$$

则我们定义函数 $f$ 的平均值

$$f_{\text{ave}} = \frac1{b - a}\int^b_a f(x)dx$$

积分中值定理

定义

如果函数 $f$ 在区间 $[a,\ b]$ 连续, 则存在 $c\in[a,\ b]$ 满足

$$f(c) = f_{\text{ave}} = \frac1{b - a}\int^b_a f(x)dx$$

即

$$\int^b_a f(x)dx = f(c)(b - a)$$