Calculus笔记-5.2-体积

5.2 体积(Volumes)

简单的模型: 柱体

其体积可表示为:

$$V = Ah$$

一般物体的体积:

我们可以用横截面来近似, 当 $x$ 在区间 $[a,\ b]$ 变化时, 横截面面积 $A(x)$ 也同时变化.

将 $S$ 切成 $n$ 个”厚板”:

单个“厚板”的体积为:

$$V(S_i)\approx A(x^*_i)\Delta x$$

我们可以用其体积之和来近似得到原物体的体积:

$$V \approx \sum^n_{i = 1}A(x^*_i)\Delta x$$

随着 $n\to\infty$ , 该体积越来越接近原物体的体积, 因此我们可以用积分来表示:

$$V = \lim_{n\to\infty}\sum^n_{i = 1}A(x^*_i)\Delta x = \int^b_aA(x)dx.$$

两种模型: “盘片”和”垫圈”

盘片法:

如图, 近似物体为盘片形, 横截面积可直接由圆面积公式得到;

垫圈法:

如图, 近似物体为垫圈形, 横截面积可由外部圆面积减去内部圆面积(即圆环面积公式)得到.