GAMES101笔记：Lecture03-变换

2024-05-02

GAMES101笔记：Lecture03 变换

Syllabus

Transformation
Today
- Why study transformation
- 2D transformations: rotation, scale, shear
- Homogeneous coordinates
- Composing transforms
- 3D transformations

为什么要学习变换

变换的两大分类

模型变换(Modeling)
视图变换(Viewing)

具体的变换类型

位移变换(translation)
旋转变换(rotation)

逆运动学：如果这个机器人的手被摆到某个位置，问它的关节该如何运动才能达成对应的效果？
缩放变换(scaling)
视图：（3D到2D的）投影(projection)

右边的图片是左边的人在观察时所看到的视觉平面。从三维到二维的变换过程也被叫做投影。

二维变换(2D transformations)

缩放变换(scaling)

数学形式

设 $s$ 为缩放倍率，则：

$\begin{align} x^{\prime} = sx \\ y^{\prime} = sy \end{align}$

矩阵形式

$\begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

非均匀缩放

设 $x$ 轴、 $y$ 轴缩放倍率分别为 $s_x$ 、 $s_y$ ，则：

$\begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

反射变换(Reflection)：水平反射

代数形式

$x^\prime = -x \\ y^\prime = y$

矩阵形式

$\begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

切变(Shearing)

矩阵形式

$\begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

旋转

在平面内默认关于原点，默认方向为逆时针方向的旋转：

旋转矩阵

$\mathbf{R}_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$

代入坐标轴变换的推导

设：

$\mathbf{R}_\theta = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

则：

$\mathbf{R}_\theta\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}$ $\mathbf{R}_\theta\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix}$

所以

$\begin{cases} a &= \cos\theta\\ c &= \sin\theta\\ b &= -\sin\theta\\ d &= \cos\theta \end{cases}$

即

$\mathbf{R}_\theta = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \mathbf{R}_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$

公理化证明

设旋转前 $x$ , $y$ 分别为 $x_0$ , $y_0$ ，旋转后 $x$ , $y$ 分别为 $x_1$ , $y_1$ ，则：

$\begin{cases}x_0 = r_0\cos\alpha\\y_0 = r_0\sin\alpha\end{cases}$ $\begin{align} x_1 &= r_0\cos(\alpha + \theta)\notag\\ &= r_0(\cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta) \end{align}$ $\begin{align} y_1 &= r_0\sin(\alpha + \theta)\notag\\ &= r_0(\sin\alpha\cos\theta + \sin\theta\cos\alpha) \end{align}$

代入

$\begin{align} \mathbf{R}_\theta \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}\\ \mathbf{R}_\theta \begin{pmatrix} r_0\cos\alpha\\ r_0\sin\alpha \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_0\cos\alpha\\ r_0\sin\alpha \end{pmatrix} \end{align}$

得：

$\mathbf{R}_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.$

线性组合的通式

线性变换能够由一个（同一维度的）矩阵表示：

$\begin{align} x^\prime &= ax + by\\ y^\prime &= cx + dy \end{align}$

用矩阵表示：

$\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

即

$\mathbf{x}^\prime = \mathbf{M}\mathbf{x}.$

齐次坐标(Homogenous coordinate)

引入

平移变换(Translation)

数学描述

$\begin{align} x^\prime &= x + t_x\\ y^\prime &=y + t_y \end{align}$

问题：

平移变换不能用矩阵形式表示： $\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix}$

但我们并不想将平移作为特例来处理。

是否有一个统一且代价合理的方法来统一所有变换？（考虑trade off）

解决方法：齐次坐标

齐次坐标的表示

为二维坐标增加一个维度(w坐标)

2D point = $(x, y, 1)^T$
2D vector = $(x, y, 0)^T$

点变换的矩阵表示

$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & t_x\\0 & 1 & t_y\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + t_x\\y + t_y\\1\end{pmatrix}$

为何将向量和点区别对待？

因为向量具有平移不变性

w坐标的意义

vector + vecor = vecor
point - point = vecor
point + vector = point
point + point = ??

在齐次坐标中，

$\begin{pmatrix}x\\y\\w\end{pmatrix}\text{is the 2D point when } \begin{pmatrix}x / w\\y / w\\1\end{pmatrix},\ w\neq0$

仿射变换(Affine Transformations)

Affine map = linear map + translation

$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix}$

Using homogenous coordinates:

$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & t_x\\c & d & t_y\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$

2D Transformations

Scale

$\mathbf{S}(s_x, s_y) = \begin{pmatrix}s_x & 0 & 0\\0 & s_y & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Rotation

$\mathbf{R}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Translation

$\mathbf{T}(t_x, t_y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

逆变换(Inverse tranform)

$\mathbf{M}^{-1}$

$\mathbf{M}^{-1}$ 是变换 $\mathbf{M}$ 在矩阵和几何意义上的逆操作

变换的组合(Composing translation)

顺序：先旋转再平移

矩阵运算顺序：从右到左

Composing Transforms

Sequence of affine transforms $\mathbf{A_1}, \mathbf{A_2}, \mathbf{A_3}, \dots$

Compose by matrix multiplication
Very important for performance! $A_n(\dots A_2(A_1(x))) = \underbrace{A_n\cdots A_2\cdot A_1\cdot} _\text{相当于将 $n$ 个矩阵合成为一个矩阵} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$

变换的分解(Decomposing Complex Transforms)

以任意一个点为中心进行旋转

将中心平移到原点
旋转
再平移回去
矩阵表示

$\mathbf{T}(\mathbf{c})\cdot\mathbf{R}(\alpha)\cdot\mathbf{T}(-\mathbf{c})$

三维变换(3D Transforms)

使用齐次坐标表示

3D point = $(x, y, z, 1)^T$
3D vector= $(x, y, z, 0)^T$

一般来说，$(x, y, z, w)(w\neq0)$ 表示三维空间中的点

$(x / w, y / w/, z / w)$

使用4x4矩阵来表示仿射变换

$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x\\ d & e & f & t_y\\ g & h & i & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}$

问题

应该以什么顺序执行？先表示平移还是先表示线性变换？

答案

先线性变换再平移