笔记高等数学(同济版)

2024-03-24

笔记:高等数学(同济版)

第一章函数与极限

第一节映射与函数

一. 映射

1. 映射概念

定义设$\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}$是两个非空集合, 如果存在一个法则$f$, 使得对$\boldsymbol{X}$中每个元素

第二节数列的极限

第三节函数的极限

第四节无穷小与无穷大

第五节极限运算法则

第六节极限存在准则两个重要极限

第七节无穷小的比较

定义

如果$\lim\dfrac{\beta}{\alpha} = 0$, 那么就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小, 记作$\beta = o(\alpha)$;

如果$\lim\dfrac{\beta}{\alpha} = \infty$, 那么就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小;

如果$\lim\dfrac{\beta}{\alpha} = c\neq0$, 那么就说$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小;

如果$\lim\dfrac{\beta}{\alpha^k} = c\neq0,k > 0$, 那么就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶无穷小;

如果$\lim\dfrac{\beta}{\alpha} = 1$, 那么就说$\beta$与$\alpha$是等价无穷小, 记作$\alpha\sim\beta$.

定理1

$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的充要条件为

$\beta = \alpha + o(\alpha)$

定理2

设$\alpha\sim\tilde{\alpha}$, $\beta\sim\tilde{\beta}$, 且$\lim\dfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}$存在, 则

$\lim\dfrac{\beta}{\alpha} = \lim\dfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}.$

附录: 常用的等价无穷小

当$x\to0$时:

$\tan x\sim x$
$\sin x \sim x$
$\arcsin x \sim x$
$\arctan x \sim x$
$1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x ^ 2$
$a ^ x - 1 \sim x \ln a(a > 0, a \neq 1)$
$e ^ x - 1 \sim x$
$\log_a(1 + x) \sim \dfrac{1}{\ln a}x(a > 0, a \neq 1)$
$\ln (1 + x) \sim x$
$(1 + \beta x) ^ \alpha - 1 \sim \alpha\beta x$
$\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \dfrac{1}{n}x$

第八节函数的连续性与间断点

一. 函数的连续性

增量

设变量$u$从它的一个初值$u_1$变到终值$u_2$, 终值与初值的差$u_2 - u_1$就叫做变量$u$的增量, 记作$\Delta u$, 即

$\Delta u = u_2 - u_1$

函数值(因变量)的增量

假定函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一个邻域内有定义, 当自变量$x$在这邻域内从$x_0$变到$x_0 + \Delta x$时, 函数值(因变量)$f(x)$相应地从$f(x_0)$变到$f(x_0 + \Delta x)$, 因此函数值(因变量)$f(x)$的对应增量为

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).$

习惯上也称$\Delta y$为函数的增量.

函数的连续性

如果当$\Delta x$趋于零时, 函数的对应增量$\Delta y$也趋于零, 即

$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$

或

$\lim_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$

那么就称函数$y = f(x)$在点$x_0$处是连续的, 即有下述定义:

定义

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义, 如果

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$

那么就称函数$y = f(x)$在点$x_0$连续.

或:

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义, 如果

$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$

那么就称函数$y = f(x)$在点$x_0$连续.

用”$\varepsilon-\delta$”语言描述:

$f(x)$在点$x_0$连续$\Leftrightarrow\forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0,$当$|x - x_0| < \delta$时, 有$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$.

左连续

如果$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0^-)$ 存在且等于$f(x_0)$, 即

$f(x_0^-) = f(x_0),$

那么就说函数$f(x)$在点$x_0$左连续.

右连续

如果$\lim_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0^+)$ 存在且等于$f(x_0)$, 即

$f(x_0^+) = f(x_0),$

那么就说函数$f(x)$在点$x_0$右连续.

在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.

有理整函数(多项式)在$R$内连续, 有理分式函数在其定义域内连续.

二. 函数的间断点

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义, 如果函数$f(x)$有下列三种情形之一:

在$x = x_0$没有定义;
虽在$x = x_0$有定义, 但$\lim_{x \to x_0}f(x)$不存在;
虽在$x = x_0$有定义, 且$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在, 但$\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$,

那么函数$f(x)$在点$x_0$为不连续, 而点$x_0$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点.

函数间断点的类型

如果$x_0$是函数$f(x)$的间断点, 但左极限$f(x_0^-)$及右极限$f(x_0^+)$都存在, 那么$x_0$称为函数$f(x)$的第一类间断点.
不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点.

在第一类间断点中, 左, 右极限相等者成为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点.

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

一. 连续函数的和, 差, 积, 商的连续性

定理1

设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续, 则它们的和(差) $f \pm g$, 积 $f \cdot g$ 及商 $\dfrac{f}{g}$ (当$g(x_0) \neq 0$时)都在点$x_0$连续.

二. 反函数与复合函数的连续性

定理2

如果函数$y = f(x)$在区间$I_x$上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数$x = f ^ {-1}(y)$也在对应的区间$I_y = \{y | y = f(x), x \in I_x\}$上单调增加(或单调减少)且连续.

定理3

设函数$y = f[g(x)]$由函数$u = g(x)$与函数$y = f(u)$复合而成, $\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \circ g}$. 若$\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$, 而函数$y = f(u)$在$u = u_0$连续, 则

$\lim_{x \to x_0}f[g(x)] = \lim_{u \to u_0}f(u) = f(u_0).$

又可写成

$\lim_{x \to x_0}f[g(x)] = f[\lim_{u \to u_0}g(x)].$

定理4

设函数 $y = f[g(x)]$ 是由函数 $u = g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 复合而成, $U(x_0) \subset D_{f \circ g}$. 若函数$u = g(x)$在$x = x_0$连续, 且$g(x_0) = u_0$, 而函数 $y = f(u)$ 在$u = u_0$连续, 则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x = x_0$ 也连续.

三. 初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

如果$f(x)$是初等函数, 且$x_0$是$f(x)$的定义区间内的点, 那么

$\lim _{x \to x_0}f(x) = f(x_0).$

对于形如 $u(x) ^ {v(x)}$ ( $u(x) > 0, u (x) \neq 1$ )的函数(通常称为幂指函数), 如果

$\lim u(x) = a > 0, \lim v(x) = b,$

那么

$\lim u(x) ^ {v(x)} = a ^ b.$

第十节闭区间上连续函数的性质

一. 有界性与最大值最小值定理

最大值和最小值的概念

对于在区间$I$上有定义的函数$f(x)$, 如果有$x_0 \in I$, 使得对于任一$x \in I$都有

$f(x) \leq f(x_0) \qquad (f(x) \geq f(x_0)),$

那么称$f(x_0)$是函数$f(x)$在区间$I$上的最大值(最小值).

定理1(有界性与最大值最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

二. 零点定理与介值定理

定理2(零点定理)

设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续, 且$f(a)$与$f(b)$异号, (即$f(a) \cdot f(b) < 0)$), 则在开区间$(a, b)$内至少有一点$\xi$, 使

$f(\xi) = 0.$

定理3(介值定理)

设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值

$f(a) = A \quad \text{及} \quad f(b) = B$

则对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$, 在开区间$(a, b)$内至少有一点$\xi$, 使得

$f(\xi) = C \quad (a < \xi < b).$

推论

在闭区间$[a, b]$上连续的函数$f(x)$的值域为闭区间$[m, M]$, 其中$m$与$M$依次为$f(x)$在$[a, b]$上的最小值与最大值.

三. 一致连续性

定义

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义, 如果对于任意给定的正数$\varepsilon$, 总存在正数$\delta$, 使得对于区间$I$上的任意两点$x_1, x_2$, 当$|x_1 - x_2| < \delta$时, 有

$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon,$

那么称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续.

定理4(一致连续性定理)

如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续, 那么它在该区间上一致连续.

第二章导数与微分

第一节导数概念

一. 引例

(略)

二. 导数的定义

1. 导数在一点处的导数与导函数

导数的定义

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义, 当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$(点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内) 时, 相应地, 因变量取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$;如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在, 那么称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, 并称这个极限为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数, 记为 $f’(x_0)$, 即

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$

也可记作$y’|_{x = x_0}, \dfrac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或 $\dfrac{df(x)}{dx}|_{x = x_0}$.

函数$f(x)$ 在点$x_0$处可到有时也说成$f(x)$在点$x_0$具有导数或导数存在.

导数的定义式$(21)$也可取不同的形式, 常见的有

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

和

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

$(22)$式中的$h$即自变量的增量$\Delta x$.

如果极限$(21)$不存在, 就说函数$y = f(x)$在点$x_0$处不可导. 如果不可导的原因是由于$\Delta x \to 0$时, 比式$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \to \infty$, 为了方便起见, 也往往说函数 $y = f(x)$ 在点$x_0$处的导数为无穷大.

导函数的定义

如果函数$y = f(x)$在开区间 $I$ 内的每点处都可导, 那么就称函数 $f(x)$ 在开区间 $I$ 内可导. 这时, 对于任一 $x \in I$, 都对应着$f(x)$的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来导数$y = f(x)$的导函数, 记作$y’$, $f’(x)$, $\dfrac{dy}{dx}$或$\dfrac{df(x)}{dx}$.

导函数的定义式

$y' = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

或

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}.$

注意

在以上两式中, 虽然 $x$ 可以取区间 $I$ 内的任何数值, 但在极限过程中, $x$ 是常量, $\Delta x$ 或 $h$ 是变量.

显然, 函数$f(x)$ 在点$x_0$处的导数$f’(x_0)$就是导函数$f’(x)$在点$x = x_0$处的函数值, 即

$f'(x_0) = f'(x)|_{x = x_0}$

导函数$f’(x)$简称导数, 而$f’(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的导数或导数$f’(x)$在$x_0$处的值.

2. 求导数举例

(略)

3. 单侧导数

$f’(x_0)$存在即$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是左, 右极限

$\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} \quad \text{及} \quad \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

都存在且相等. 这两个极限分别称为函数$f(x)$在点$x_0$处的左导数和右导数, 记作 $f’_-(x_0)$ 及 $f’_+(x_0)$, 即

$f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h},$ $f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

现在可以说, 函数 $f(x)$ 在点$x_0$ 处可导的充分必要条件是左导数$f’_-(x_0)$ 和右导数 $f’_+(x_0)$ 都存在且相等.

左导数和右导数统称为单侧导数.

如果函数$f(x)$在开区间$(a, b)$内可导, 且 $f’_+(x_0)$ 及 $f’_-(x_0)$ 都存在, 那么就说 $f(x)$ 在闭区间$[a, b]$上可导.

三. 导数的几何意义

曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程为

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0).$

过切点$M(x_0, y_0)$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y = f(x)$ 在点 $M$ 处的法线.

如果 $f’(x_0) \neq 0$, 法线的斜率为 $-\dfrac{1}{f’(x_0)}$, 从而法线方程为

$y - y_0 = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0).$

四. 函数可导性与连续性的关系

如果函数 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处可导, 那么函数在该点必连续.